Условия возникновения автоколебания генераторы
Условия возникновения автоколебания генераторы
Генераторы гармонических колебаний представляют собой электронные устройства, формирующие на своем выходе периодические гармонические колебания при отсутствии входного сигнала. Генерирование выходного сигнала осуществляется за счет энергии источника питания. Со структурной точки зрения генераторы представляют собой усилители электрических сигналов, охваченные ПОС.
Внешний входной сигнал отсутствует. На входе усилителя действует только выходной сигнал ОС UOC. А на входе ОС действует UВХОС=UВЫХ. Поэтому коэффициент усиления такой схемы.
Условием, обеспечивающим наличие сигнала на выходе генератора при отсутствии внешнего входного сигнала является К→ ∞, то есть .
При выполнении этого условия любой усилитель, охваченный ПОС становится генератором, на выходе его появляются колебания, независимые от входного сигнала (автоколебания). Явление возникновения автоколебаний в усилителе называется самовозбуждением.
Условие возникновения автоколебаний можно разделить на две составляющие:
1) Условие баланса амплитуд: К∙β=1. Физический смысл: результирующее усиление в контуре, состоящем из последовательного соединения усилителя и цепи ОС должно быть равно единице. Если цепь ОС ослабляет сигнал, то усилитель должен на 100% компенсировать это ослабление. То есть если в любом месте разорвать контур ПОС и на вход подать сигнал от внешнего источника, то пройдя по контуру К∙β с выхода разрыва цепи ОС вернется сигнал точно такой же амплитуды, что был подан на вход разрыва.
2) Условие баланса фаз: arg(K·β)=0. Физический смысл: результирующий фазовый сдвиг, вносимый усилителем и цепью ОС должен быть равен нулю (или кратен 2π). То есть при подаче сигнала на разрыв, вернувшийся сигнал будет иметь точно такую же фазу. При выполнении этого условия ОС будет положительна.
Для существования автоколебаний необходимо одновременное выполнение этих условий. Если эти условия выполняются не для одной частоты, а для целого спектра частот, то генерируемый выходной сигнал будет сложным (не гармоническим). Для обеспечения синусоидальности выходного сигнала генератор должен генерировать сигнал только одной единственной частоты. Для этого необходимо, чтобы условия возникновения автоколебаний выполнялись для единственной частоты, которая и будет генерироваться. Для этого делают К или β частотно-зависимыми. Как правило β имеет максимум β0 на некоторой частоте ω0. Поэтому на ω0 и коэффициент усиления будет иметь максимум К0. Величины К0 и β0 обеспечивают такими, чтобы они удовлетворяли условиям возникновения автоколебаний. Тогда при отклонении частоты от ω0 и условия возникновения автоколебаний выполнятся не будут, что приведет к затуханию колебаний этой частоты и на выходе генератора будут только гармонические колебания частоты ω0.
В зависимости от того, каким способом в генераторе обеспечивается условие баланса фаз и амплитуд, различают генераторы:
3.1.1 Генератор LC-типа
Такой генератор строят на основе усилительного каскада на транзисторе, включая в его коллекторную цепь колебательный LC-контур. Для создания ПОС используется трансформаторная связь между обмотками W1 (имеющей индуктивность L) и W2 (рисунок 3.1.1.1).
Рисунок 3.1.1 Генератор LC-типа
Напряжение U2 является напряжением ОС. Оно связано с напряжением первичной обмотки W1 коэффициентом трансформации
Коэффициент трансформации в данном случае является коэффициентом передачи ОС, показывая какая часть напряжения передается на вход. Для выполнения баланса амплитуды на частоте ω0 должно выполнятся равенство
Из этого условия рассчитывается необходимое число витков вторичной обмотки, чем обеспечивается условие баланса амплитуд. Для обеспечения баланса фаз необходимо обеспечить соответствующее включение начал и концов обмоток, чтобы ОС была положительной. Емкость С1 выбирают такой, чтобы ее сопротивление на частоте генерации было незначительным по сравнению с R2. Это исключает влияние сопротивления делителя на ток во входной цепи транзистора, создаваемый напряжением ОС. Назначение RЭ и СЭ такое же, как в обычном усилительном каскаде. LC-генераторы, также как и LC-избирательные усилители применяют в области высоких частот, когда требуются небольшие величины L и имеется возможность обеспечить высокую добротность LC-контура. А на низких и инфранизких частотах, когда построение LC-генератора затруднительно, используют RС цепи тех же типов, что и для избирательных усилителей.
3.1.2 RC- генераторы
RC генераторы используют для задания частоты резисивно – емкостную связь. Основные два вида генераторов синусоидальных колебаний это: генератор с фазосдвигающей цепью и генератор на основе моста Вина. Генератор с фазосдвигающей цепью — это обычный усилитель с фазосдвигающей цепью обратной связи. На комбинации цепочек имеют место потери мощности, поэтому транзистор должен иметь достаточно высокий коэффициент усиления (рисунок 3.1.2.1).
Рисунок 3.1.2.1 Частота генератора рассчитывается по формуле
В этом генераторе для возникновения колебаний усилитель должен иметь бесконечно большое входное сопротивление и выходное сопротивление –равное 0.
Тогда, если конденсаторы и резисторы имеют равные реактивные и активные параметры, условием существования колебаний будет равенство коэффициента усиления числу 29. Такое усиление необходимо для компенсации затухания в фазосдвигающей цепочке. Фазовый угол этой цепочки на частоте колебаний равен 180°, а усилитель должен инвертировать сигнал, с тем, чтобы общий сдвиг фазы по всему контуру был равен 0 (условие генерации).
Частота колебаний генератора определяется выражением:
Условия возникновения автоколебаний
Как было показано в предыдущем разделе, коэффициент усиления усилителя с обратной связью определяется выражением:
где K – коэффициент усиления усилителя без обратной связи, а β – коэффициент передачи цепочки обратной связи. Из этой формулы следует, что при Kβ → 1 величина Kβ неограниченно увеличивается. Это соответствует условию самовозбуждения, при котором развиваются автоколебания. Устройства, в котором возникают автоколебания, называются автогенераторами.
Подчеркнём, что K = K(ω) = 
и β = β(ω) = 
– комплексные величины. Поэтому условие самовозбуждения соответствует двум условиям:
φK + φβ = 2πn, где n = 0, 1, 2… (7.2)
Первое условие (7.1) называют балансом амплитуд, а второе – балансом фаз (7.2). Величины K и β могут зависеть от частоты ω, поэтому условия (7.1, 7.2) удовлетворяются не для всех, а только для части частот. Из-за этого в спектр автоколебаний будут входить в основном именно эти частоты, только они «выживут».
Рассмотрим ещё раз процесс самовозбуждения (условия (7.1, 7.2) выполнены): малое увеличение напряжения на входе приведёт к увеличению напряжения на выходе, а оно в свою очередь приведёт через цепочку обратной связи к ещё большему увеличению входного напряжения и так далее. Очевидно, что должен существовать механизм ограничения амплитуды – иначе такой лавинообразный процесс приведёт к нефизическому следствию бесконечного роста амплитуды. Роль такого механизма обычно играет нелинейность усилителя: коэффициент усиления уменьшается с ростом амплитуды колебаний, а амплитуда сигнала на выходе ограничена напряжением питания. Подчеркнём, что нелинейность необходима в автоколебательной системе.
LC-автогенератор
В качестве примера рассмотрим схему простейшего LC-генератора, изображённую на рис. 7.1 (автогенераторы такого вида часто называют генераторами Томсона). На схеме рис. 7.1А колебательный контур расположен в цепи стока, а на рис. 7.1Б в цепи затвора. Такие простейшие схемы сейчас применяются редко.
Рассмотрим для определённости вторую схему (рис. 7.1Б). При включении напряжения питания через транзистор начинает течь ток. Этот ток через индуктивную связь с катушкой L вызовет появление э.д.с. взаимоиндукции в цепи контура. В контуре возникнут колебания. Если знак коэффициента M взаимоиндукции выбран правильно, то напряжение на конденсаторе С, включённом между затвором и истоком транзистора, будет усиливаться и увеличивать амплитуду колебаний. Ограничение амплитуды колебаний будет происходить за счёт нелинейной зависимости коэффициента усиления от амплитуды. При установившихся автоколебаниях потери в контуре за период будут в точности компенсироваться подкачкой энергии через цепь обратной связи.
Рассмотрим более подробно работу LC-генератора. Для тока в контуре по аналогии (2.34) запишем уравнение:
(7.3)
Если формально положить правую часть этого уравнения нулю, то получим уравнение свободных колебаний в контуре. Правая часть описывает влияние усилителя. Выражая ток IСИ через напряжение на затворе по формуле:
где S – крутизна характеристики. Тогда:
продифференцировав и разделив на L, получим:
Если в (7.4) для маленького поначалу сигнала формально принять, что крутизна S является постоянной, то решение этого уравнения сразу выписывается в виде:
Мы видим, что член 
, описывающий работу усилителя, эквивалентен отрицательному сопротивлению. При r > 
в системе будут затухающие колебания, а при r
Дата добавления: 2019-04-03 ; просмотров: 977 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
Учебники
Разделы физики
Журнал «Квант»
Лауреаты премий по физике
Общие
Т. Автоколебания
Автоколебания. Генератор незатухающих колебаний (на транзисторе)
Свободные электромагнитные колебания в реальном колебательном контуре всегда затухающие. Для того чтобы они были незатухающими, нужно создать устройство, с помощью которого компенсировались бы потери энергии при каждом полном колебании в контуре. Широко применимы так называемые автоколебания — незатухающие колебания, поддерживаемые в системе за счет постоянного внешнего источника энергии, причем сама система управляет им, обеспечивая согласованность поступления энергии определенными порциями в нужный момент времени.
Любая автоколебательная система состоит из следующих четырех частей (рис. 1): 1) колебательная система; 2) источник энергии, за счет которого компенсируются потери; 3) клапан — некоторый элемент, регулирующий поступление энергии в колебательную систему определенными порциями в нужный момент; 4) обратная связь — управление работой клапана за счет процессов в самой колебательной системе.
Генератор на транзисторе — пример автоколебательной системы. На рисунке 2 приведена упрощенная схема такого генератора, в котором роль «клапана» играет транзистор. Колебательный контур подключен к источнику тока последовательно с транзистором. Эмиттерный переход транзистора через катушку Lсв индуктивно связан с колебательным контуром. Эту катушку называют катушкой обратной связи.
При замыкании цепи через транзистор проходит импульс тока, который заряжает конденсатор С колебательного контура, в результате чего в контуре возникают свободные электромагнитные колебания малой амплитуды. Ток, протекающий по контурной катушке L, индуцирует на концах катушки обратной связи переменное напряжение. Под действием этого напряжения электрическое поле эмиттерного перехода периодически то усиливается, то ослабляется, а транзистор то открывается, то запирается. В те промежутки времени, когда транзистор открыт, через него проходят импульсы тока. Если катушка Lсв подключена правильно (положительная обратная связь), то частота импульсов тока совпадает с частотой колебаний, возникших в контуре, и импульсы тока приходят в контур в те моменты, когда конденсатор заряжается (когда верхняя пластина конденсатора заряжена положительно). Поэтому импульсы тока, проходящие через транзистор, подзаряжают конденсатор и пополняют энергию контура, и колебания в контуре не затухают.
Если при положительной обратной связи медленно увеличивать расстояние между катушками Lсв и L, то с помощью осциллографа можно обнаружить, что амплитуда автоколебаний уменьшается, и автоколебания могут прекратиться. Это значит, что при слабой обратной связи энергия, поступающая в контур, меньше энергии, необратимо преобразуемой во внутреннюю. Таким образом, обратная связь должна быть такой, чтобы: 1) напряжение на эмиттерном переходе изменялось синфазно с напряжением на конденсаторе контура — это фазовое условие самовозбуждения генератора; 2) обратная связь обеспечивала бы поступление в контур столько энергии, сколько ее необходимо для компенсации потерь энергии в контуре — это амплитудное условие самовозбуждения.
Частота автоколебаний равна частоте свободных колебаний в контуре и зависит от его параметров.
Уменьшая L и С, можно получить высокочастотные незатухающие колебания, используемые в радиотехнике.
Амплитуда установившихся автоколебаний, как показывает опыт, не зависит от начальных условий и определяется параметрами автоколебательной системы — напряжением источника, расстоянием между Lсв и L, сопротивлением контура.
Литература
Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. — Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. — C. 394-395.
Условия возникновения автоколебаний
Как было показано в предыдущем разделе, коэффициент усиления усилителя с обратной связью определяется выражением:
где K – коэффициент усиления усилителя без обратной связи, а β – коэффициент передачи цепочки обратной связи. Из этой формулы следует, что при Kβ → 1 величина Kβ неограниченно увеличивается. Это соответствует условию самовозбуждения, при котором развиваются автоколебания. Устройства, в котором возникают автоколебания, называются автогенераторами.
Подчеркнём, что K = K(ω) = 
и β = β(ω) = 
– комплексные величины. Поэтому условие самовозбуждения соответствует двум условиям:
φK + φβ = 2πn, где n = 0, 1, 2… (7.2)
Первое условие (7.1) называют балансом амплитуд, а второе – балансом фаз (7.2). Величины K и β могут зависеть от частоты ω, поэтому условия (7.1, 7.2) удовлетворяются не для всех, а только для части частот. Из-за этого в спектр автоколебаний будут входить в основном именно эти частоты, только они «выживут».
Рассмотрим ещё раз процесс самовозбуждения (условия (7.1, 7.2) выполнены): малое увеличение напряжения на входе приведёт к увеличению напряжения на выходе, а оно в свою очередь приведёт через цепочку обратной связи к ещё большему увеличению входного напряжения и так далее. Очевидно, что должен существовать механизм ограничения амплитуды – иначе такой лавинообразный процесс приведёт к нефизическому следствию бесконечного роста амплитуды. Роль такого механизма обычно играет нелинейность усилителя: коэффициент усиления уменьшается с ростом амплитуды колебаний, а амплитуда сигнала на выходе ограничена напряжением питания. Подчеркнём, что нелинейность необходима в автоколебательной системе.
LC-автогенератор
В качестве примера рассмотрим схему простейшего LC-генератора, изображённую на рис. 7.1 (автогенераторы такого вида часто называют генераторами Томсона). На схеме рис. 7.1А колебательный контур расположен в цепи стока, а на рис. 7.1Б в цепи затвора. Такие простейшие схемы сейчас применяются редко.
Рассмотрим для определённости вторую схему (рис. 7.1Б). При включении напряжения питания через транзистор начинает течь ток. Этот ток через индуктивную связь с катушкой L вызовет появление э.д.с. взаимоиндукции в цепи контура. В контуре возникнут колебания. Если знак коэффициента M взаимоиндукции выбран правильно, то напряжение на конденсаторе С, включённом между затвором и истоком транзистора, будет усиливаться и увеличивать амплитуду колебаний. Ограничение амплитуды колебаний будет происходить за счёт нелинейной зависимости коэффициента усиления от амплитуды. При установившихся автоколебаниях потери в контуре за период будут в точности компенсироваться подкачкой энергии через цепь обратной связи.
Рассмотрим более подробно работу LC-генератора. Для тока в контуре по аналогии (2.34) запишем уравнение:
(7.3)
Если формально положить правую часть этого уравнения нулю, то получим уравнение свободных колебаний в контуре. Правая часть описывает влияние усилителя. Выражая ток IСИ через напряжение на затворе по формуле:
где S – крутизна характеристики. Тогда:
продифференцировав и разделив на L, получим:
Если в (7.4) для маленького поначалу сигнала формально принять, что крутизна S является постоянной, то решение этого уравнения сразу выписывается в виде:
Мы видим, что член 
, описывающий работу усилителя, эквивалентен отрицательному сопротивлению. При r > 
в системе будут затухающие колебания, а при r
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).
Папиллярные узоры пальцев рук — маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни.
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ — конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой.
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.
Условия возникновения автоколебания генераторы
Электронные цепи, в которых периодические изменения напряжения и тока возникают без приложения к ним дополнительного периодического сигнала, называются автономными автоколебательными цепями, а устройства, выполненные на их основе, — автогенераторами или генераторами колебаний соответствующей формы. Эти цепи следует рассматривать как преобразователи энергии источника питания постоянного тока в энергию периодических электрических колебаний.
Автогенераторы можно разделить на генераторы импульсов и генераторы синусоидальных колебаний. Генераторы импульсов в зависимости от формы выходного напряжения делят на генераторы: напряжения прямоугольной формы (ГПН); напряжения экспоненциальной формы; линейно изменяющегося напряжения (ГЛИН); напряжения треугольной формы; ступенчато изменяющегося напряжения; импульсов, вершина которых имеет колоколообразную форму (блокинг-генератор).
Генераторы синусоидальных колебаний классифицируют по типу колебательной системы и подразделяют на: LC-автогенераторы; RС-автогенераторы; генераторы с кварцевой стабилизацией частоты; генераторы с электромеханическими резонансными системами стабилизации частоты.
Для получения незатухающих колебаний во всех названных автогенераторах используются компоненты электроники, на вольт-амперных характеристиках которых имеется или создан с помощью цепи положительной ОС участок с отрицательным дифференциальным сопротивлением. Так как в большинстве автогенераторов используются электронные усилители с положительной ОС, то будем рассматривать только их.
В § 4.2 было показано, что при положительной ОС, когда фазовый сдвиг по петле усилитель — цепь обратной связи фпет равен нулю и 
, усилитель теряет устойчивость. Если в цепи усилителя или цепи ОС нет элемента накапливающего электрическую энергию, то усилитель с положительной ОС превращается в триггер и имеет устойчивые состояния (см. § 8.4, 8.5).
При наличии в петле усилитель — цепь обратной связи элемента, накапливающего энергию, например конденсатора, усилитель с положительной ОС не имеет ни одного устойчивого состояния и генерирует периодически изменяющееся напряжение. Генераторы импульсов, состоящие из широкополосных электронных усилителей, охваченных положительной обратной связью, глубина которой остается почти постоянной в широкой полосе частот, и имеющие в петле обратной связи элементы, накапливающие энергию, называются мультивибраторами.
Широкополосность цепи ОС является характерным признаком всех генераторов импульсов, причем во всех случаях на частоте 
выполняется условие 
. В противном случае устройство превратится в триггер. Это условие свидетельствует о наличии накопителя энергии, уменьшающего петлевое усиление на низких или инфранизких частотах до уровня, при котором невозможно появление устойчивого состояния.
Генераторы синусоидального напряжения отличаются тем, что у них цепь обратной связи имеет резонансные свойства. Поэтому условия возникновения колебаний выполняются только на одной частоте, а не в полосе частот, как у генераторов импульсов. В качестве резонаторов, обеспечивающих получение резонансных свойств, используют LC-контуры, RС-цепи определенного вида, кварцевые резонаторы, электромеханические колебательные системы и др.
Рис. 8.30. «Жесткий» режим возникновения автоколебаний
Различают «мягкий» и «жесткий» режимы возбуждения генераторов. При мягком режиме петлевое усиление больше единицы 
в момент включения напряжения питания. Тогда любые шумы или возмущения в системе, вызванные случайными факторами, усиливаются и через цепь обратной связи подаются на вход усилителя в фазе, совпадающей с фазой входного сигнала, причем величина этого дополнительного сигнала больше того возмущения, которое вызвало его появление. Соответственно увеличится выходное напряжение, что приведет к дальнейшему увеличению входного сигнала и т. д. В итоге случайно возникшее возмущение приведет к непрерывному нарастанию выходного сигнала, которое достигло бы бесконечного большого значения, если бы это было возможно. Однако при определенном уровне сигнала начинают проявляться нелинейные свойства электронного усилителя. Коэффициент усиления начинает уменьшаться с увеличением значения сигнала в системе. При выполнении условия 
амплитуда автоколебаний стабилизируется и автогенератор начинает давать колебания, имеющие постоянную амплитуду.
Жесткий режим возбуждения отличается от рассмотренного тем, что при нем для возникновения автоколебаний необходимо приложить к устройству дополнительный внешний сигнал, не меньший определенного значения. Это связано с особенностями нелинейности усилительного устройства. В момент включения напряжения питания и отсутствия автоколебаний 
.
Поэтому они сами собой возникнуть не могут. Коэффициент усиления К зависит от амплитуды выходного сигнала. Поэтому если на вход усилителя подать дополнительный электрический сигнал, то при определенном его значении начнет выполняться условие 
. При этом возникнут автоколебания, амплитуда которых будет нарастать и примет стационарное значение при 
. Процесс возникновения колебаний поясняет рис. 8.30. При приложении входного сигнала, большего 
, например 
, он усиливается до напряжения, определяемого точкой 
, и снова подается на вход. Входное напряжение станет равным 
Выходное напряжение будет определяться точками 2—6 и т. д. Процесс увеличения амплитуды прекратится при достижении выходным сигналом значения 
(точка 6, в которой 
). Если каким-либо путем амплитуду выходного сигнала уменьшить до значения, меньшего 
, то автоколебания прекратятся.
На практике активные приборы в автогенераторах часто работают с отсечкой тока. Поэтому подход, основанный на использовании теории обратной связи, обычно применяют для пояснения физической картины процессов. Анализ и расчет автогенераторов проводят другими методами, в основе которых лежит баланс энергий, рассеиваемых в устройстве и отбираемых от источника питания.
Digiratory
Лаборатория автоматизации и цифровой обработки сигналов
Автоколебания. Введение
Начинаем серию статей, посвященных автоколебаниям с точки зрения теории управления. Статьи рассчитаны на подготовленного читателя и несут значительную теоретическую нагрузку, хотя и не включают полного аналитического обоснования всех положений.
Автоколебания — это периодические процессы в нелинейных системах, часто встречаются в системах. В практике автоматического управления важен автоколебательный режим систем. В нелинейных системах, в отличии от линеаризованных моделей при потере устойчивости не возникает неограниченного роста значений переменных состояния, а при колебательном характере неустойчивости колебания расходятся до амплитуды, определяемой параметрами системы. Кроме того, автоколебательные режимы часто используются для регулирования различных физических параметров технологических процессов, например температуры. При этом учитываются ограничения на допустимые частоты и амплитуды колебаний.
Определение точной формы и параметров периодических режимов возможно только для некоторых типов систем, например релейных. Наиболее удобным способом исследования предельных циклов в системах второго (и, иногда, третьего) порядков — метод фазовой плоскости. Однако, такой подход практически невозможен для большинства систем, описываемых моделями высоких порядков со сложными нелинейностями.
Один из способов получения информации о существовании и параметрах автоколебательных режимов — метод гармонического баланса.
Метод гармонического баланса
Основные положения
Пусть имеется нелинейная модели автономной системы, представленная структурной схемой расчетного вида и имеется задача исследования собственных периодических колебаний.
Параметризация решения
Для упрощения задачи принимается решение о форме решения, т.е. искомое решение параметризуют.
Предположим, что характер поведения переменной на входе (x(t)) нелинейного элемента периодичен, а форма сигнала близка к гармонической:
[ x(t)= A sin(omega t) ]
Анализ условия прохождения сигнала
Примем гипотезу фильтра о гармонической форме искомого периодического движения. Предположим, что амплитуды высших гармоник на входе нелинейного элемента и выходе линейной части малы в силу фильтрующих свойств линейной части.
Еще одно необходимое условие метода — малость влияния высших гармоник на условие баланса амплитуд и фаз.
Подход 1. Передаточные функции
Следующим шагом является анализ прохождения гармонического сигнала по контуру, образованному нелинейным элементом, линейной частью и элементом сравнения. Допустим, что периодический сигнал на выходе нелинейного элемента
имеет тот же период, однако может содержать высшие гармоники, которые также проходят через линейную часть с передаточной функцией (W(s)), которая ослабляет их в большей степени, чем первую гармоническую составляющую, согласно гипотезе фильтра. Исходя из этого в составе переменной (z(t)) их доля мала:
[ z(t) = A_z sin(omega t + phi_z)]
Учитывая отрицательную обратную связь, изменяющей фазу сигнала на (-pi) радиан, условием существования автоколебаний в контуре является баланс амплитуд и фаз:
[ A_z = A \
phi_z = -pi ]
Тогда комплексный коэффициент передачи линейной части по гармонической составляющей выражается следующим образом:
Аналогично примем, что преобразование гармонического сигнала безынерционным нелинейным элементом описывается комплексным коэффициентом передачи (описывающей функцией):
где (R_n (A)) — отношение амплитуды первой гармонической составляющей сигнала (y(t)) к амплитуде (A) входного сигнала; (phi_n(A)) — фазовый сдвиг первой гармоники по отношению к входному сигналу.
Исходя из этого, при прохождении гармонического сигнала через последовательно соединенные нелинейный элемент и линейную часть его амплитуда изменяется в (R(omega) R_n(A) ) раз, а сдвиг фаз равен (phi (omega)+phi(A)).
В рассматриваемой нелинейной системе возможно существование переодических колебаний, если при прохождении гармонического сигнала по контуру сохраняется значение амплитуды, а фазовый сдвиг с учетом элемента сравнения равен (— pi ), т.е. выполняются следующие условия:
[ phi_n(A) + phi(omega) = -pi]
Подход 2. Критерий Найквиста
Получить условия возникновения автоколебаний можно иначе.
Ниже изображена структурная схема гармонически линеаризованной системы, эквивалентной исходной для множества гармонических сигналов на входе нелинейного элемента и при выполнении гипотезы фильтра.
Особенностью такой модели является неполная определенность ее параметров, зависящих от искомой амплитуды (A) и частоты (omega ). В исходной системе возможны автоколебания, если в эквивалентной системе устанавливаются гармонические колебания, т.е. параметры линеаризованной системы соответствуют колебательной границе устойчивости. В соответствии с критерием Найквиста условие нахождения значений параметров линеаризованной системы, заданной частотными характеристиками звенев, на границе устойчивости выражается следующим образом:
из этого выражения с учетом комплексного коэффициента передачи линейной части и преобразования гармонического сигнала нелинейным элементом вытекают эквивалентные условия баланса амплитуд и фаз.
Полученные условия представляют собой систему нелинейных уравнений относительно частоты (omega) и амплитуды (A) искомой первой гармоники колебаний переменной (x(t)).
В общем случае баланс может устанавливаться с учетом постоянного смешения (x_0) гармонического сигнала на входе нелинейного элемента и конечного числа высших гармоник.
Для сложных систем нелинейных уравнений с большим числом переменных, как правило, не существует аналитического решения или оно чрезмерно сложно для ручной обработки и для их решения разумно использовать численные или аналитические методы расчета на ЭВМ.
В случае принятия гипотезы о близости формы искомых колебаний к гармоническим основными этапами метода гармонического баланса являются:
- Замена нелинейного элемента эквивалентной характеристикой (гармоническая линеаризация)
- Определение параметров колебаний
- Анализ чувствительности решения к высшим гармоникам и малым параметрам системы.
